MEKANIKA

Soal Mekanika

1.       Sebuah benda bermassa m bergerak menurut r = (t+1) (i sin θ + j cos θ) dengan laju                v = Posisi sudut mula-mula adalah θ˳ = 0. Semua dalam satuan  SI.

a.       Tentukan posisi sudut θ, laju sudut dθ/dt, percepatan sudut d²θ/dt² setiap saat.

b.      Tentukan vector kecepatan sebagai fungsi dari waktu.

c.       Tentukan vector percepatan sebagai fungsi dari waktu.

2.       Sebuah ion bermutan q dan bermassa m bergerak dalam suatu gerak karena adanya medan listrik konstan E. Gas tersebut mengganggu gerak ion dalam bentuk gaya gesek F = -bv. Laju awal ion v˳.

a.       Tentukan kecepatan dan posisi ion setiap saat.

b.      Tentukan kecepatan akhir ion.

c.       Ulangi jawab soal a untuk khusus nilai b yang kecil.

3.       Sebuah gaya F = xy i - y² j + xyz k bekerja pada sebuah partikel. Hitunglah usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut selama partikel bergerak dari posisi (0,0,0) keposisi (2,1,0), masing-masing menurut lintasan :

a.       Lintasan lurus dari (0,0,0) ke (0,1,0) dilanjutkan kelintasan lurus dari (0,1,0) ke (2,1,0)

b.      Lintasan parametrik  x = 2 t³ , y = t² , z = 0.

c.       Lintasan lurus dari (0,0,0) ke (2,1,0)

4.       Tentukan solusi umum dari sebuah osilator harmonik satu dimensi yang dipengaruhi gaya     F = -bv + A sin (ct), dengan b, A, dan c konstanta.

Jawaban:

1.    a = (t + 1) (sin  +  cos )  ; v =  m/s ; ₀ = 0

=  =  + (t + 1)  

            =  +  

         v =  =

       

         Karena v =  maka 2 =  yang berarti

         =    (di pilih yang positif)

          = -

 =  = ln (t +1)

b)  Berdasarkan hasil (a)  yang diperoleh  maka nilai subtitusi ke persamaan vektor   

  kecepatan menjadi :

 =  +  

c)  =  =  +  

 =  +  

        =   {cos[ln(t+1)] – sin [ln(t+1)]}-   {-sin[ln(t+1)] – cos [ln(t+1)]}

 

2.     =

Karena arah gerak ion sejajar ara medan  sehingga kasus ini merupakan sisi sebuah dimensi

   F =

a.            

                                      

 

b.      Kecepatan akhir = kecepatan pada t

 

c.       b kecil :

                   

             

     

3.        a.  

                

                       

                             dt

                     

b. 

                                        =

                                        =

                                        = 2xyt³ – y²t²

C.        w_(2,1,0)   =

                         =

                         = (2xy -  y²)(t – t_o)

                 W    = 0 +(2xy -  y²)(t – t_o)

                    = (2xy -  y²)(t – t_o)

4.